загрузка...

2.2. Формы записи задачи линейного программирования и ее экономическая интерпретация

Как отмечено выше, среди широкого класса задач оптимального программирования имеются важные подклассы задач, для которых разработаны эффективные методы решения. Наиболее изученным подклассом задач являются задачи линейного программирования.

В задаче линейного программирования (ЗЛП) требуется найти экстремум (максимум или минимум) линейной целевой функции фс):

max(min) /(х) = Сіхг + с2х2 + ... + спхп (2.9)

при ограничениях (условиях):

«11*1 + «12*2 + •?•+ ainXn {<,=,>} &1,

«21*1 + «22*2 + •••+ «2Л*л{-'='-}Ь2. (2.10)

«ml* 1 + «т2*2 + •••+ атпХп {<, =, >} Ьт,

(2.11)

где ац, bt, Cj(i=l,m;j—l,n) — заданные постоянные величины.

Так записывается общая задача линейного программирования в развернутой форме; знак {<,=,>} означает, что в кон- кретной ЗЛП возможно ограничение типа равенства или неравенства (в ту или иную сторону).

Систему ограничений (2.10) называют функциональными ограничениями ЗЛП, а ограничения (2.11) — прямыми.

Вектор X = • •?» удовлетворяющий системе ог

раничений (2.10), (2.11), называется допустимым решением, или планом ЗЛП, т.е. ограничения (2.10), (2.11) определяют область допустимых решений, или планов задачи линейного программирования (область определения ЗЛП).

План (допустимое решение), который доставляет максимум или минимум целевой функции (2.9), называется оптимальным планом (оптимальным решением) ЗЛП.

Канонической формой записи задачи линейного программирования (КЗЛП) называют задачу вида (запись с использованием знаков суммирования):

п

Найти шах f(x) = ? сjXj (2.12)

;=1

п

при ограничениях ^ aijxj ~ ^і, і =1,т, (2.13)

/=1

х} > 0, Ьі > 0, і =1, т,; j =1, п . (2.14)

Векторная форма записи КЗЛП имеет вид:

Найти шах f(x) = СХ

при ограничениях А\Х\ + А2х2 + ... + Апхп = В, х > 0,

где С = (сь с2, ..., сп), X = (хь х2, ..., хп),

СХ — скалярное произведение векторов С,Х; А; и В — вектор-столбцы: ґ \ ап ґ \ а12 ( L \ а2\ ,А2 = а22 Um2J , ... ,Ап а2п \amnJ ,В = Ь2

\brnJ Матричная форма записи КЗЛП:

max СХ

при условиях АХ = В, X > 0.

Здесь С = (ci, C2,.--, сп) — вектор-строка; А = (аф — матрица размерности тхп, столбцами которой являются вектор- столбцы Af,

f h ^ X =

вектор-столбец.

вектор-столбец, В тУ

U Иногда используется стандартная форма записи ЗЛП: max(min) f(x) = СХ,

АХ < (>)В, Х>0.

При этом запись X > 0 понимают как вектор (или вектор-столбец в зависимости от контекста), у которого все компоненты (элементы) неотрицательны.

Приведение ЗЛП к каноническому виду осуществляется введением в левую часть соответствующего ограничения вида (2.10) k-й дополнительной переменной xn+h >0 со знаком - в случае ограничения типа > и знаком + в случае ограничения типа <.

Если на некоторую переменную хг не накладывается условие неотрицательности, то делают замену переменных хг = х'г - х", х'г > 0, х" > 0. В преобразованной задаче все переменные неотрицательные. Переход к задаче на максимум достигается изменением в случае необходимости знака у целевой функции.

К математическим задачам линейного программирования приводят исследования конкретных производственно- хозяйственных ситуаций, которые в том или ином виде интерпретируются как задачи об оптимальном использовании ограниченных ресурсов (задача о раскрое, смесях, диете и т.д.).

кь. Пример 1 (задача о смесях). Стандартом предусмотрено, что октановое число автомобильного бензина А-76 должно быть не ниже 76, а содержание серы в нем — не более 0,3%. Для изготовления такого бензина на заводе используется смесь из четырех компонентов. Данные о ресурсах смешиваемых компонентов, их себестоимости и их октановом числе, а также о содержании серы приведены в таблице

Характеристика

Компонент автомобильного бензина № 1 № 2 № 3 № 4 Октановое число 68 72 80 90 Содержание серы, % 0,35 0,35 0,3 0,2 Ресурсы, т 700 600 500 300 Себестоимость, ден.ед./т 40 45 60 90 Требуется определить, сколько тонн каждого компонента следует использовать для получения 1000 т автомобильного бензина А-76, чтобы его себестоимость была минимальной.

Решение.

Для решения этой задачи сформулируем ее экономико-математическую модель, т.е. сформулируем задачу математически. Введем необходимые обозначения: пусть Xj (j = 1,2,3,4) — количество в смеси компонента с номером j. С учетом этих обозначений имеем задачу (критерий оптимальности — «минимум себестоимости»):

min /(Z) = 40*! + 45*2 + 60*3 + 90*4,

xi + х2 + х3 + х4 = 1000, (1)

68*1 + 72*2 + 80*3 + 90*4 > 76 • 1000, (2)

0,35*1 + 0,35*2 + 0,3*з + 0,2*4 < 0,3 • 1000, (3) *i < 700, х2< 600, *3 < 500, х4< 300,

xj >0,7 = 1,2,3,4.

Функциональное ограничение (1) отражает необходимость получения заданного количества смеси (1 ООО т), (2) и (3) — ограничения по октановому числу и содержанию серы в смеси, остальные — ограничения на имеющиеся объемы соответствующих ресурсов (компонентов). Прямые ограничения очевидны, но принципиально важны для выбора метода решения.

Полученная математическая задача — задача линейного программирования. Она может быть решена симплекс-методом, который рассмотрен в данной главе ниже. В результате решения получается оптимальное решение

1it . ifc ^f ^ * v ^ м и ^

X = (хг, х2, х3, х4 ) : хг = 571 т,

х*= 0, х*3= 143 т, х*= 286 т.

Подставляя найденное решение в целевую функцию, имеем

/(х*) - 40-571 + 45-0 + 60-143 + 90-286 =57 160,0 (ден. ед.).

*

Таким образом, оптимальному решению X будет отве- « чать минимальная себестоимость в 57160,0 ден. ед.

Пример 2 (использование ограниченных ресурсов).

На участок строящейся дороги необходимо вывезти 20 000 м3 каменных материалов. В районе строительства имеются три карьера с запасами 8 000 м3, 9 000 м3 и 10 000 м3. Для погрузки материалов используются экскаваторы, имеющие производительность 250 м3 в смену в карьерах 1 и 2 и 500 м3 в смену в карьере 3.

Эти карьеры обеспечивают каменными материалами также ряд других строящихся объектов. На погрузку материалов для рассматриваемого участка выделен для экскаваторов общий лимит 60 машино-смен с правом использования его по усмотрению строителей.

Транспортные затраты на перевозку материалов характеризуются показателями: для перевозки 10 000 м3 материалов из карьера 1 требуется 1 000 автомобиле-смен, из карь- ера 2 — 1 350, из карьера 3 — 1 700 автомобиле-смен. Требуется найти оптимальный план перевозок, обеспечивающий минимальные транспортные затраты.

Решение. Сформулируем экономико-математическую модель задачи. Примем за единицу измерения количества материалов 10 ООО м3.

Обозначим через Х\ объем добычи материалов в карьере 1, *2 — в карьере 2, *з — в карьере 3. Необходимо минимизировать транспортные затраты:

min f(x) = 1 OOOxj + 1 350*2 + 1 700*3,

при ограничениях *i + + *з = 2,0, (1)

40*! + 40*2 + 20*з ? 60, (2)

0 < *! < 0,8, (3)

0 < *2 < 0,9, (4)

0<*3<1,0. (5)

Условие (1) отражает потребность в материалах, (2) — ограничение по наличию ресурса «фонд рабочего времени экскаваторов» (мы не можем использовать больше того, что у нас в наличии). Условия (3)-(5) отражают тот факт, что добыча материалов идет в условиях ограниченности запасов материалов в соответствующих карьерах. Полученная задача — задача ЛП; решив ее симплекс-методом (см. ниже), найдем оптимальный план (решение)

(*;,*2,*з) :*;= 0,8 (8 000м3);

**= 0,2 (2 000м3); х*я= 1,0 (10 000 м3).

Таким образом, из карьера 1 следует вывезти 8 000 м3 материалов, из карьера 2 — 2 000 м3, из карьера 3 — 10 000 м3. Это управленческое решение будет связано с минимальными транспортными затратами

f(X*) = 1 000-0,8 + 1 350-0,2 + 1 700-1,0 = 2 770 м (автомобиле-смен).

<< | >>
Источник: В.В. Федосеев, А.Н. Гармаш, Д.М. Дайитбегов, И.В. Орлова, В.А. Половников. Экономико-математические методы и прикладные модели: Учеб. пособие для вузов/ В.В. Федосеев, А.Н. Гармаш, Д.М. Дайитбегов и др.; Под ред. В.В. Федосеева. — М.: ЮНИТИ. - 391 с.. 1999

Еще по теме 2.2. Формы записи задачи линейного программирования и ее экономическая интерпретация:

  1. • Принцип оптимальности в планировании и управлении, общая задача оптимального программирования • Формы записи задачи линейного программирования и ее экономическая интерпретация • Математический аппарат • Геометрическая интерпретация задачи • Симплексный метод решения задачи 2.1. Принцип оптимальности в планировании и управлении, общая задача оптимального программирования
  2. ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ ЛИНЕЙНОГО ПРОГРАММИРОВАНИЯ
  3. Решение задач линейного программирования в MS Excel
  4. 14.3.3. Приведение матричной игры т?п к задаче линейного программирования.
  5. 6.4. Математика геометрия Евклида как первая естественно-научная теория; аксиоматический метод; математические доказательства; линейная алгебра с элементами аналитической геометрии; линейное программирование
  6. ГЛАВА 1. ЛИНЕЙНОЕ ПРОГРАММИРОВАНИЕ
  7. Глава 2 ОСНОВЫ ЛИНЕЙНОГО ПРОГРАММИРОВАНИЯ
  8. 4. Разработка Л. В. Канторовичем метода линейного программирования.
  9. б.              Линейное программирование
  10. 1.6. ТЕОРИЯ ДВОЙСТВЕННОСТИ В ЛИНЕЙНОМ ПРОГРАММИРОВАНИИ
  11. 2.4. Геометрическая интерпретация задачи
  12. Общая постановка задачи динамического программирования
  13. 4.1. ТИПЫ ЗАДАЧ ДИСКРЕТНОГО ПРОГРАММИРОВАНИЯ
  14. 5.2. ПРИМЕРЫ ЗАДАЧ ДИНАМИЧЕСКОГО ПРОГРАММИРОВАНИЯ
  15. 2.1. МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ НЕЛИНЕЙНОГО ПРОГРАММИРОВАНИЯ
  16. 16.5. Задача динамического программирования в терминах теории графов.
  17. 16.4. Решение задачи о кратчайшем пути методами динамического программирования.
  18. 5.2. Предельная полезность и цены 5.2.1. Двойственные оценки в задачах математического программирования