Средневзвешенная продолжительность платежей (дюрация)

До сих пор мы принимали во внимание только одну временную характеристику облигаций — срок погашения п. Однако для обязательств с выплатой периодических доходов не менее важную роль играет еще один временный показатель — средневзвешенная продолжительность платежей, или дюрация.

Понятие "дюрация" впервые введено американским ученым Ф.

Маколи (F.R. Macaulay) и играет важнейшую роль в анализе долгосрочных ценных бумаг с фиксированным доходом. В целях упрощения предполагаем, что купонный платеж осуществляется раз в год. Тогда дюрацию D можно определить из соотношения:

Л tCFt nF

" CFt F h\ (I + r)' +(1 + r)n

где CF( — величина платежа по купону в периоде t, F — сумма погашения (как правило — номинал); п — срок погашения; г — процентная ставка (норма дисконта), равная доходности к погашению (г — YTM).

Рассмотрим соотношение (7.7) более подробно. Нетрудно заметить, что знаменатель (7.7) представляет собой формулу для расчета текущей стоимости облигации с фиксированным купоном (7.6), т.е. величину PV. Преобразуем (7.7) с учетом сказанного выше и величины нормы дисконта г — YTM. \

п\

t'f

_ 11 Ці + УТМУ) Ці + YTM)\

D= ру + ^ <7-8>

Из (7.8) следует, что дюрация является средневзвешенной из периодов поступлений по облигации. Используемые при этом веса представляют собой долю каждого дисконтированного платежа в современной стоимости всего потока — PV. Рассмотрим следующий пример.

Пример 7.7

Облигация с номиналом в 1000 и ставкой купона 7%, выплачиваемого раз в год, имеет срок обращения 3 года. Определить дюрацию данного обязательства.

Расчет дюрации для этого примера приведен в табл. 7.3.

Таблица 7.3. Расчет дюрации t CFt (1 + YTMУ РУг PVt/PV t(PVt/PV) 1 70 1,070 65,42 0,0654 0,0654 2 70 1,145 61,14 0,0611 0,1223 3 1070 1,225 873,44 0,8734 2,6203 Итого — — 1000,00 1,0000 2,8080

Таким образом, средняя продолжительность платежей по 3- летней купонной облигации приблизительно равна 2,8 года. Дю- рация 20-летней облигации с купоном 8% годовых будет равна всего 11 годам, т.е. почти в 2 раза меньше срока погашения.

Рис, 7.6. Зависимость дюрации от ставки купона k и доходности YTM

Нетрудно заметить, что дюрация зависит от трех факторов — ставки купона к, срока погашения п и доходности YTM. Эта зависимость для 20-летней облигации при различных ставках к и YTM показана рис.7.6.

Графическая иллюстрация взаимосвязи дюрации с показателями п, к и YTM позволяет сделать ряд важных выводов: •

дюрация облигации с нулевым купоном всегда равна сроку ее погашения, т.е. при к = О D = п; •

дюрация купонной облигации всегда меньше срока погашения: при к >0 D < п; •

с ростом доходности (процентной ставки на рынке) дюрация купонной облигации уменьшается, и наоборот. Показатель дюрации, или средней продолжительности, более

корректно учитывает особенности временной структуры потока платежей. Как следует из (7.8), отдаленные платежи имеют меньший вес, и, следовательно, оказывают меньшее влияние на результат, чем более близкие к моменту оценки.

Дюрацию часто интерпретируют как средний срок обязательства с учетом его текущей (современной) величины или, другими словами, как точку равновесия сроков дисконтированных платежей. В частности, дюрацию купонной облигации можно трактовать как срок эквивалентного обязательства без текущих выплат процентов (например, облигации с нулевым купоном).

Важное теоретическое и прикладное значение в анализе играет предельная величина дюрации (limiting value of duration) — LVD вычисляемая по формуле:

I+ГГМ YTM v '

Отметим следующие свойства этого показателя: •

средняя продолжительность платежей по бессрочным облигациям равна величине LVD независимо от величины ставки купона; •

дюрация купонной облигации, приобретенной по номиналу или с премией, монотонно возрастает вместе с увеличением срока погашения и приближается к своему предельному значению LVD по мере приближения срока погашения к бесконечности, т.е.

при п -> оо D -> LVD; •

дюрация купонной облигации, приобретенной с дисконтом, достигает своего максимума прежде, чем срок погашения приблизится к бесконечности, и затем снижается по направлению к величине ІLVD. Однако главная ценность дюрации состоит в том, что она приблизительно характеризует чувствительность цены облигации к изменениям процентных ставок на рынке (доходности к погашению)40. Таким образом, используя дюрацию, можно управлять риском, связанным с изменением процентных ставок.

В общем случае процентный риск облигации может быть измерен показателем эластичности ее цены Р по отношению к рыночной ставке г. Пусть г = YTM, тогда эластичность EL можно определить по формуле:

EL =

<0.

А Р/Р

(7.10)

AYTM /(1 + YTM) Поскольку между ценой облигации и ее доходностью к погашению существует обратная зависимость, величина EL будет всегда отрицательной. Из (7.10) следует, что: АР

A YTM

(7.11)

= -EL

1 + YTM

Если г = YTM, то ее величина может быть определена из (7.4). Применив дифференцирование, можно показать, что: CFt

и

Г=1

п

(1 + УТМ)Т

= -D. (7.12)

dP / Р

PV

dYTM / (1 + YTM) Откуда:

(

Ці + YTMf) ~PV АР

= -D

AYTM

(7.13)

\ + YTM

Из (7.11) и (7.13) следует, что EL = D, таким образом, дюра- ция характеризует эластичность цены облигации к изменениям ее доходности.

= -D

(7.14)

AYTM

Преобразуем правую часть (7.13) следующим образом: АР " AYTM ' D 1 + YTM I + YTM _

Величина, заключенная в квадратные скобки, получила название модифицированной дюрации (modified duration — MD):

MD - T^m • (7Л5) Тогда:

^ = -(МП х АУГМ). (7.16)

Формулу (7.16) часто используют для определения приблизительного изменения цены облигации исходя из предполагаемого изменения доходности к погашению. Рассмотрим следующий пример.

Пример 7.8

Предположим, что облигация из примера 7.7 была куплена по номиналу. При этом инвестор ожидает рост рыночной процентной ставки на 1 %. Определить ожидаемое изменение цены облигации.

Величина средней продолжительности платежей D для этой облигации была найдена при решении примера 7.7 и составила приблизительно 2.8. Определим ожидаемое процентное изменение YTM:

AYTM = 0,01 / (1 + 0,07) = 0,0093.

Найдем величину MD:

MD = 2,8 / 0,0093 = 2,62.

Предполагаемое процентное изменение цены облигации составит: АР = — (0,01 х 2,62) = -0,0262 * -2,6%.

Таким образом, курс облигации Л'должен понизиться на 2,6%. Поскольку облигация была куплена по номиналу, новый курс должен быть приблизительно равен: 100 — 2,6 = 97,4%.

Проверим наше предположение (т.е. определим курс облигации при условии, что YTM = 8%):

л Д 1000 x 0,07 1000 Р = ? > + = 974,23;

7Ґ\ (1 + 0,08) (1 + 0,08)

Р 974 23 К = —100 = 100 = 97,42 » 97,4.

N 1000

Завершая рассмотрение свойств дюрации, кратко остановимся на недостатках, присущих данному показателю.

Первое ограничение вытекает из нелинейной формы связи между YTM и Р (см. рис. 7.1). Поскольку скорость изменения показателей при этом разная, применение показателей D или MD для прогнозирования цен облигаций в случае значительных колебаний процентных ставок будет приводить к преувеличению падения курса при росте YTM и занижению реального роста курса при уменьшении YTM.

Другой существенный недостаток дюрации как меры измерения процентного риска — неявное допущение о независимости доходности от срока погашения. Таким образом, предполагается, что краткосрочные процентные ставки изменяются так же, как и долгосрочные. Например, если доходность по 3-месячным ГКО изменилась на 1%, то и доходность 15-летних ОВВЗ также должна измениться на 1%. Нереалистичность подобного допущения очевидна.

Несмотря на отмеченные недостатки, показатель средней продолжительности платежей (дюрация) широко используется в теоретическом и прикладном анализе [12, 26, 29, 30].

<< | >>
Источник: Лукасевич И.Я.. Анализ финансовых операций. Методы, модели, техника вычислений: Учебн. пособие для вузов. — М.: Финансы, ЮНИТИ. - 400 с.. 1998

Еще по теме Средневзвешенная продолжительность платежей (дюрация):

  1. • Функции для определения дюрации
  2. Дюрация и выпуклость
  3. Среднеарифметическая и средневзвешенная цены
  4. 59 СРЕДНЕВЗВЕШЕННАЯ СТОИМОСТЬ КАПИТАЛА
  5. 6.7 Средневзвешенная стоимость капитала
  6. 2 . продолжительность одного оборота в днях
  7. Расчёт средневзвешенной стоимости капитала (ССК)
  8. ПРОДОЛЖИТЕЛЬНОСТЬ ИЗУЧЕНИЯ ДИСЦИПЛИНЫ
  9. Средневзвешенная цена (курс) ценной бумаги
  10. Средневзвешенная цена на покупку ценной бумаги
  11. § 4. Продолжительность циклов и сменяющихся фаз.
  12. Какова продолжительность отпуска
  13. Продолжительность жизненного цикла
  14. Средняя ожидаемая продолжительность жизни,